LABORATORIO (Práctica 2)

1_ Ejercicio_ Respuesta de frecuencia.

a) Obtener la expresión de la respuesta de frecuencia:

De la figura que vemos en el ejercicio sacaremos la respuesta de frecuencia que tenemos en las diapositivas de clase.

\[ Yss(t)=M*sen(wt+\phi) \]  Nota:  \[ \phi   está   desfasada. \]

A continuación representamos las siguientes variables:

\[ M=|G(iw)| \]

\[ \phi=\arg{G(iw)} \] 

Con la función de transferencia de esta figura sacada en la práctica anterior, obtenemos la respuesta de frecuencia.

\[ G(s)=\displaystyle\frac{1}{m*s^2+b*s+k} \]

Le damos valores a  m=1,  k=2,  b=0.3

b) Representar el diagrama de Nyquist:

El diagrama de Nyquist es un gráfico en C de la función:

G :   R → C

       ω ↦→ G (iω)

La representación gráfica en Matlab será de la siguiente manera:

La gráfica quedará de la siguiente manera:

b) Representar el diagrama de Bode:

Para representar el diagrama de bode solos hay que poner en el Matlab los mismos pasos que en el apartado anterior, pero esta vez con la función bode.

bode(G)

Quedandonos la gráfica de la siguiente manera:

2_ Ejercicio_ Márgenes de ganancia y fase.

Vamos a simplificar la expresión dada por el ejercicio en la que utilizaremos la siguiente expresión:

\[ T=\displaystyle\frac{G(s)*[k*\displaystyle\frac{b}{s+a}]}{1+G(s)*[k*\displaystyle\frac{b}{s+a}]*H} \]

En la ecuación vamos a sustituir los valores dados por el encunciado. H=1, a=b=7, m=1, k=2, b=0.3.
quedando la siguiente manera:

\[ T=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{s^2+0.3s+k}*[k*\displaystyle\frac{7}{s+7}]}{1+\displaystyle\frac{1}{s^2+0.3s+k}*[k*\displaystyle\frac{7}{s+7}]*1} \]

\[ T=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x-y}{s^3+7.3s^2+4.1s+14}*k}{1+\displaystyle\frac{x-y}{s^3+7.3s^2+4.1s+14}*k} \]

a) Representar el lugar de las raices:

Para representar esta función con Matlab utlizaremos la función "rlocus" :

\[ P(s)=(s^3+7.3s^2+4.1s+14)*1+/*1*k \]

En Matlab escribiremos:

\[ rlocus(num, den)= rlocus([7*1],[1    7.3     4.1     14]) \]

El denominador y el numerador lo introduciremos al Matlab de forma numérica, obteniendo el lugar de las raices representado en la siguiente gráfica.

LABORATIORIO (Práctica 1)

1.  Manejo básico del Matlab.

• Operaciones elementales con números complejos y reales.

• Funciones elementales.

• Operaciones con matrices.

• Representar gráficamente una función.

• Transformada de Laplace.

1.  Modelos matemáticos.

a) Modelo interno. Resolución numérica y simbólica:

\[ f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{-t^2}dt \]

Cambios:

x = x1
x' = x2

Sistema de dos ecuaciones lineales:

x'1 = x2
m*x'2 + b*x2 + k*x1 = u

\[ x'2 = \displaystyle\frac{u}{m}-\displaystyle\frac{b}{m}*x2-\displaystyle\frac{k}{m}*x1 \]

Matricial:

                      A                                     B                                                 C                         D

[ x'1 ] = [  0         1      ]  *   [ x1 ]  +  [  0    ]  * u                     [ y'1 ] = [  1  0  ]  *   [ x1 ]  +  [ 0 ]  * u  

[ x'2 ] = [ -k/m       -b/m  ]      [ x2 ]      [ 1/m ]                           [ y'2 ] = [ 0  1  ]      [ x2 ]      [ 0 ]


b) Modelo externo. Resolución numérica y simbólica:

\[ \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}+\displaystyle\frac{b}{m}*\displaystyle\frac{dx}{dt}+\displaystyle\frac{k}{m}*x(t) = \displaystyle\frac{1}{m}*u(t) \]

Valores iniciales:

x(0) = 1
x'(0) = v0

Hallar x(t)

\[ L (\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2})+\displaystyle\frac{b}{m}*L (\displaystyle\frac{dx}{dt})+\displaystyle\frac{k}{m}*L (x(t)) = \displaystyle\frac{1}{m}* L (u(t)) \]

\[ s^2X(s) - sx(0) - x'(0) +\displaystyle\frac{b}{m}*(sX(s)-x(0))+\displaystyle\frac{k}{m}*X(s)  =  \displaystyle\frac{1}{m}*U(s) \]

Despejamos:

\[ X(s)=\displaystyle\frac{1}{m*s^2+b*s+k} * U(s) \]


c) Obtener la matriz de transferencia a partir del modelo interno:

G = C*(s* I2-A)^(-1)*B + D

G=C*(s*eye(2) -A)^(-1)*B + D


Método Numérico:

m=1
b=0.2
k=5

Mostraremos dos gráficas.

IMPULSE 

STEP

Fórmula de Mason

Permite la determinación directa de la función de transferencia de un sistema a partir de la representación de su diagrama de flujos.

Los distintos términos definidos son:

• Nodo de entrada: Nodo del que solo parten ramas.
• Nodo de salida: Nodo al que solo llegan ramas.
• Camino: Comprende una sucesión continua y unidireccional de ramas, recorridas en el sentido de sus flechas y de forma que cada una de ellas es atravesada una sola vez.
• Lazo: Es una camino que empieza y termina en el mismo nodo.
• Ganancia de lazo: Es el producto de las ganancias de todas las ramas que integra el lazo.

Proceso de aplicación:

Paso 1: Señalas todos los lazos del diagrama y determinar sus ganancias de lazo.

Paso 2: Calcular la función característica del grafo (A) de la forma siguiente:

Paso 3: Calcular la ganancia de cada camino directo posible (D).

Paso 4: Para cada uno de los caminos definidos en el paso 3, calcular las magnitudes con la fórmula del paso 2 pero eliminando los lazos que tengan partes comunes en el camino.

Paso 5: Determinar la función de transferencia

Grafos de Flujo de Señal

Un grafo de flujo de señal es una representación gráfica del conjunto de ecuaciones que describen a un sistema así como el sentido de transmisión de sus señales.

Se forma de dos elementos básicos:

• Nodo: Se refiere a una señal y se representa con un círculo.
• Rama: Comprende la función de transferencia que relaciona a las dos variables asociadas a sus nodos extremos. Se representa con una línea continua que incluye una flecha en el sentido de transmisión de la señal.

Existen unas reglas de simplificación de grafos:

1. Adición: La variable designada por un nodo equivale a la suma de todas las que entran en el mismo.

2.  Transmisión: La variable asociada a un nodo es transmitida  por cada una de las ramas que parten                  de dicho nodo.

3.  Multiplicación: Una conexión de ramas en serie o cascada puede ser sustituida por otra rama única cuya función de transferencia sea el producto de estas.

Diagrama De Bloques

El diagrama de bloques consta de 4 elementos:

• Bloque, es la función de transferencia.

• Flecha, variable, señal Y(s)=G(s)U(s)

• Punto de Suma (+), si a su lado hay un signo negativo se interpreta la expresión como una resta

• Punto de bifurcación, representa un sistema de ecuaciones algebraicas 

Para poder simplificar un conjunto de bloques a un solo bloque usamos las Reglas de simplificación.Se utilizará la siguiente tabla para ello:

Un ejemplo básica de simplificación es el siguiente:

Donde:

Y = (U-G2*Y)*G1

Y = U*G1 - G2*Y*G1

Y + Y*G1*G2 = U*G1

Y=G11+G1G2*U

Ecuación Diferencial Lineal

\[\frac{dx}{dt}=a*x(t)+b*u(t)\]  ,   u(t) dada

No es posible despejar x(t). Por lo tanto hacemos la transformada de laplace a ambos lados.

\[\ L*\frac{df}{dt}=s*L*f(t)-f(0)\]

s*Lx(t)-x(o)= a*Lx(t)+b*Lu(t)

s*X(s)-x(0) = a*X(s)+b*U(s)

X(s)*(s-a)= bU(s)+x(o)          Nota: Suponemos que x(0)=0

Despejamos X(s);

\[\ X(s)=\frac{b}{s-a}*U(s)\]

Hemos conseguido despejar la transformada de la función incógnita.  

Variable independiente ------->  t

Función incógnita ------------>  x(t)

Control ---------------------->  U(t)

Representación:

- Modelo externo:

\[U(s)  ---->\boxed{\frac{b}{s-a}} -----> X(s)\]

Función racional ----> cociente de polinomios.

NOTA:Para realizar lo contrario solo hay que aplicar la transformada inversa de Laplace.

Tabla de las transformadas de Laplace

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes.

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas. 

Las propiedades son:


1) Linealidad:

2) Derivación:

3) Integración:

4) Dualidad:

5) Desplazamiento de frecuencia:

6) Desplazamiento temporal:

7) Desplazamiento potencia n-ésima:

8) Convolución:

9) Transformada de Laplace de una función con periodo "p":

10) Condiciones de convergencia:

Concepto de Control Automático

Ejemplos de Controlador:

- Proceso: Material a transportar.

- Actuador: Grúa torre.

- Controlador: Cerebro del operador de grúa.

- Sensor: Operador (gruísta).

- Proceso: Fuego a extinguir.

- Actuador: Manguera.

- Controlador: Bombero.

- Sensor: Los ojos del bombero.

- Proceso: Peces.

- Actuador: Caña de pesca.

- Controlador: Pescador.

- Sensor: La tensión del hilo en el momento que pica el pez.

Fórmulas en notación Latex

\[ \int \frac1x \,dx = \ln x \]

\[ 2 \sum_{i = 1}^N i = 2 \left( \frac{N + 1}{2} \right) \]